A. Có 3 cách tạo cơ cấu vẽ đường conic:
a. Dựa vào định nghĩa quỹ tích trong mặt phẳng.
Ví dụ cơ cấu phản bình hành vẽ elip trên hình 1a. Giao điểm của hai tay quay có tổng khoảng cách từ nó đến tâm quay cố định của tay quay là không đổi và bằng chiều dài tay quay. Điều này phù hợp với định nghĩa: elip là quỹ tích của những điểm mà tổng khoảng cách từ nó đến hai điểm cố định có trị số không đổi.
Xem mô phỏng:
http://www.youtube.com/watch?v=A4TvGoHsNyk
Một vài video về cơ cấu vẽ theo cách này:
Elip:
http://www.youtube.com/watch?v=4UhoyxrRquY
Parabol:
http://www.youtube.com/watch?v=JRynHxNjjhM
Hyperbol:
http://www.youtube.com/watch?v=vtmQpS_WJCU
Vẽ đường conic nhờ dây mềm cũng theo cách này.
[ANH]AA06_4E708414[/ANH]
b. Dựa vào phương trình của đường conic.
Ví dụ cơ cấu vẽ parabol trên hình 1b. Thanh L quay, thanh ngang di trượt theo sống trượt màu vàng. Tâm của con trượt đỏ chạy theo đường có phương trình y.y = 4ax
a là khoảng cách từ tâm khớp quay cố định O của thanh L màu xanh đến đường tâm sống trượt màu vàng.
Đó chính là phương trình của parabol.
Xem mô phỏng:
http://www.youtube.com/watch?v=BdiGhqDBWpU
Một vài video về cơ cấu vẽ elip theo cách này:
http://www.youtube.com/watch?v=vbIYhFK_cYw
http://www.youtube.com/watch?v=Ug7TK4YTRlY
http://www.youtube.com/watch?v=FoO2LIYLPEc
http://www.youtube.com/watch?v=rH7tMg9sR1w
http://www.youtube.com/watch?v=2ER0rCFoITo
c. Dựa vào định nghĩa giao tuyến nón và mặt phẳng. Cách này là cơ sở tạo compa vẽ 3 đường conic, gọi tắt là C-compa. Có nhiều kiểu C-compa trong đó có cả sáng chế của Leonard de Vinci. Dưới đây chọn ra 1 kiểu để trình bày kỹ nhằm giúp bạn đọc hiểu nguyên lý hoạt động. Đó là US Patent 5870830 năm 1997.
B. C-compa có các chi tiết chính như sau (hình 2a):
1. Đế
2. Trụ dưới
3. Trụ trên
4. Ổ
5. Cần trượt
Điều chỉnh và cố định trước khi vẽ:
Góc giữa trụ dưới 2 và đế 1.
Góc giữa trụ dưới 2 và trụ trên 3.
Góc giữa ổ 4 và trụ trên 3 (phương trượt của cần trượt)
Trong khi vẽ có các chuyển động sau:
Ổ 4 quay quanh trụ trên 3
Cần 5 trượt trong ổ 4 để đầu vẽ luôn tiếp xúc với mặt phẳng giấy.
B1. Vẽ elip (hình 2b, 2c)
[ANH]AB6E_4E70907C[/ANH]
Măt phẳng cắt P cắt tất cả các đường sinh của hình nón cho giao tuyến elip.
Hình 2b: trục nón SE nghiêng với mặt phẳng P một góc α. Đường sinh của nón SM tạo với trục nón SE một góc θ. Cho đường sinh SM quay quanh trục nón SE tạo mặt nón. Giao của nó với mặt P là elip.
Suy ra cách vẽ elip như sau (hình 2c):
Chỉnh và cố định:
Góc giữa trụ dưới 2 và đế 1 là α.
Góc giữa trụ dưới 2 và trụ trên 3 bằng 0.
Góc giữa ổ 4 và trụ trên 3 là θ.
Một tay giữ đế 1, trụ dưới 2 và trụ trên 3. Tay kia quay ổ 4 quanh trụ trên 3 và để đầu vẽ của cần 5 luôn tiếp xúc mặt giấy sẽ vẽ ra elip.
Xem mô phỏng:
http://www.youtube.com/watch?v=EMTJHircC-A
► Để vẽ đường tròn lấy α = 0
B2. Vẽ parabol (hình 3)
Măt phẳng cắt P song song chỉ với một đường sinh của hình nón cho giao tuyến parabol.
Hình 3a: trục nón SE nghiêng với mặt phẳng P một góc α bằng ½ góc đỉnh nón. Đường sinh của nón SM tạo với trục nón SE một góc θ = α. Như vậy có đường sinh trên cùng của nón song song với mặt phẳng P. Cho đường sinh SM quay quanh trục nón SE tạo mặt nón. Giao của nó với mặt P là parabol.
[ANH]86A1_4E7091CC[/ANH]
Suy ra cách vẽ parabol như sau (hình 3b, 3c):
Chỉnh và cố định:
Góc giữa trụ dưới 2 và đế 1 là α.
Góc giữa trụ dưới 2 và trụ trên 3 bằng 0.
Góc giữa ổ 4 và trụ trên 3 là θ = α.
Một tay giữ đế 1, trụ dưới 2 và trụ trên 3. Tay kia quay ổ 4 quanh trụ trên 3 và để đầu vẽ của cần 5 luôn tiếp xúc mặt giấy sẽ vẽ ra parabol.
Xem mô phỏng:
http://www.youtube.com/watch?v=Mfi9SgAyrK4
B3. Vẽ hyperbol (hình 4)
[ANH]7223_4E709365[/ANH]
Măt phẳng cắt P song song với trục của hình nón cho giao tuyến hyperbol.
Hình 4a: trụ EF vuông góc với mặt phẳng P. Trục nón FS song song với mặt phẳng P. Đường sinh của nón SM tạo với trục nón FS một góc θ bằng ½ góc đỉnh nón. Như vậy có mặt phẳng P song song với trục nón FS và cách trục nón FS một đoạn EF. Cho đường sinh SM quay quanh trục nón FS tạo mặt nón. Giao của nó với mặt P là hyperbol.
Suy ra cách vẽ hyperbol như sau (hình 4b, 4c):
Chỉnh và cố định:
Góc giữa trụ dưới 2 và đế 1 là 90 độ.
Góc giữa trụ dưới 2 và trụ trên 3 là 90 độ.
Góc giữa ổ 4 và trụ trên 3 là θ = ½ góc đỉnh nón.
Một tay giữ đế 1, trụ dưới 2 và trụ trên 3. Tay kia quay ổ 4 quanh trụ trên 3 và để đầu vẽ của cần 5 luôn tiếp xúc mặt giấy sẽ vẽ ra hyperbol.
Để vẽ nhánh kia của hyperbol, chỉnh và cố định góc giữa ổ 4 và trụ trên 3 là (180 – θ).
Xem mô phỏng:
http://www.youtube.com/watch?v=dsQE7onpTYs
C. Lời bàn
Có những khó khăn khi sử dụng kiểu C-compa này.
- Thao tác vẽ khá khó nhưng chắc không thành vấn đề khi đã quen.
- Phải xác định các thông số điều chỉnh compa: α, θ và độ dài SE, FE khi các đường conic thường được cho dưới dạng phương trình toán học. Việc này là phức tạp. Sáng chế nêu trên có lập bảng tính cho vẽ đường tròn, parabol, hyperbol. Không có bảng tính cho elip. Compa của sáng chế này cũng không cho phép điều chỉnh độ dài SE, FE.
- Một khi đã có và điều chỉnh được các thông số nêu trên thì việc định vị đường conic đúng vị trí yêu cầu cũng là một vấn đề vì không thể định vị bằng mũi nhọn như khi vẽ đường tròn bằng compa truyền thống.
Kỹ thuật điều khiển số đã lấn sân C-compa, ví dụ máy cắt, máy vẽ CNC. Tuy nhiên nếu có kiểu tiện dụng thì C-compa vẫn được ưa chuộng vì đơn giản và linh hoạt.
a. Dựa vào định nghĩa quỹ tích trong mặt phẳng.
Ví dụ cơ cấu phản bình hành vẽ elip trên hình 1a. Giao điểm của hai tay quay có tổng khoảng cách từ nó đến tâm quay cố định của tay quay là không đổi và bằng chiều dài tay quay. Điều này phù hợp với định nghĩa: elip là quỹ tích của những điểm mà tổng khoảng cách từ nó đến hai điểm cố định có trị số không đổi.
Xem mô phỏng:
http://www.youtube.com/watch?v=A4TvGoHsNyk
Một vài video về cơ cấu vẽ theo cách này:
Elip:
http://www.youtube.com/watch?v=4UhoyxrRquY
Parabol:
http://www.youtube.com/watch?v=JRynHxNjjhM
Hyperbol:
http://www.youtube.com/watch?v=vtmQpS_WJCU
Vẽ đường conic nhờ dây mềm cũng theo cách này.
[ANH]AA06_4E708414[/ANH]
b. Dựa vào phương trình của đường conic.
Ví dụ cơ cấu vẽ parabol trên hình 1b. Thanh L quay, thanh ngang di trượt theo sống trượt màu vàng. Tâm của con trượt đỏ chạy theo đường có phương trình y.y = 4ax
a là khoảng cách từ tâm khớp quay cố định O của thanh L màu xanh đến đường tâm sống trượt màu vàng.
Đó chính là phương trình của parabol.
Xem mô phỏng:
http://www.youtube.com/watch?v=BdiGhqDBWpU
Một vài video về cơ cấu vẽ elip theo cách này:
http://www.youtube.com/watch?v=vbIYhFK_cYw
http://www.youtube.com/watch?v=Ug7TK4YTRlY
http://www.youtube.com/watch?v=FoO2LIYLPEc
http://www.youtube.com/watch?v=rH7tMg9sR1w
http://www.youtube.com/watch?v=2ER0rCFoITo
c. Dựa vào định nghĩa giao tuyến nón và mặt phẳng. Cách này là cơ sở tạo compa vẽ 3 đường conic, gọi tắt là C-compa. Có nhiều kiểu C-compa trong đó có cả sáng chế của Leonard de Vinci. Dưới đây chọn ra 1 kiểu để trình bày kỹ nhằm giúp bạn đọc hiểu nguyên lý hoạt động. Đó là US Patent 5870830 năm 1997.
B. C-compa có các chi tiết chính như sau (hình 2a):
1. Đế
2. Trụ dưới
3. Trụ trên
4. Ổ
5. Cần trượt
Điều chỉnh và cố định trước khi vẽ:
Góc giữa trụ dưới 2 và đế 1.
Góc giữa trụ dưới 2 và trụ trên 3.
Góc giữa ổ 4 và trụ trên 3 (phương trượt của cần trượt)
Trong khi vẽ có các chuyển động sau:
Ổ 4 quay quanh trụ trên 3
Cần 5 trượt trong ổ 4 để đầu vẽ luôn tiếp xúc với mặt phẳng giấy.
B1. Vẽ elip (hình 2b, 2c)
[ANH]AB6E_4E70907C[/ANH]
Măt phẳng cắt P cắt tất cả các đường sinh của hình nón cho giao tuyến elip.
Hình 2b: trục nón SE nghiêng với mặt phẳng P một góc α. Đường sinh của nón SM tạo với trục nón SE một góc θ. Cho đường sinh SM quay quanh trục nón SE tạo mặt nón. Giao của nó với mặt P là elip.
Suy ra cách vẽ elip như sau (hình 2c):
Chỉnh và cố định:
Góc giữa trụ dưới 2 và đế 1 là α.
Góc giữa trụ dưới 2 và trụ trên 3 bằng 0.
Góc giữa ổ 4 và trụ trên 3 là θ.
Một tay giữ đế 1, trụ dưới 2 và trụ trên 3. Tay kia quay ổ 4 quanh trụ trên 3 và để đầu vẽ của cần 5 luôn tiếp xúc mặt giấy sẽ vẽ ra elip.
Xem mô phỏng:
http://www.youtube.com/watch?v=EMTJHircC-A
► Để vẽ đường tròn lấy α = 0
B2. Vẽ parabol (hình 3)
Măt phẳng cắt P song song chỉ với một đường sinh của hình nón cho giao tuyến parabol.
Hình 3a: trục nón SE nghiêng với mặt phẳng P một góc α bằng ½ góc đỉnh nón. Đường sinh của nón SM tạo với trục nón SE một góc θ = α. Như vậy có đường sinh trên cùng của nón song song với mặt phẳng P. Cho đường sinh SM quay quanh trục nón SE tạo mặt nón. Giao của nó với mặt P là parabol.
[ANH]86A1_4E7091CC[/ANH]
Suy ra cách vẽ parabol như sau (hình 3b, 3c):
Chỉnh và cố định:
Góc giữa trụ dưới 2 và đế 1 là α.
Góc giữa trụ dưới 2 và trụ trên 3 bằng 0.
Góc giữa ổ 4 và trụ trên 3 là θ = α.
Một tay giữ đế 1, trụ dưới 2 và trụ trên 3. Tay kia quay ổ 4 quanh trụ trên 3 và để đầu vẽ của cần 5 luôn tiếp xúc mặt giấy sẽ vẽ ra parabol.
Xem mô phỏng:
http://www.youtube.com/watch?v=Mfi9SgAyrK4
B3. Vẽ hyperbol (hình 4)
[ANH]7223_4E709365[/ANH]
Măt phẳng cắt P song song với trục của hình nón cho giao tuyến hyperbol.
Hình 4a: trụ EF vuông góc với mặt phẳng P. Trục nón FS song song với mặt phẳng P. Đường sinh của nón SM tạo với trục nón FS một góc θ bằng ½ góc đỉnh nón. Như vậy có mặt phẳng P song song với trục nón FS và cách trục nón FS một đoạn EF. Cho đường sinh SM quay quanh trục nón FS tạo mặt nón. Giao của nó với mặt P là hyperbol.
Suy ra cách vẽ hyperbol như sau (hình 4b, 4c):
Chỉnh và cố định:
Góc giữa trụ dưới 2 và đế 1 là 90 độ.
Góc giữa trụ dưới 2 và trụ trên 3 là 90 độ.
Góc giữa ổ 4 và trụ trên 3 là θ = ½ góc đỉnh nón.
Một tay giữ đế 1, trụ dưới 2 và trụ trên 3. Tay kia quay ổ 4 quanh trụ trên 3 và để đầu vẽ của cần 5 luôn tiếp xúc mặt giấy sẽ vẽ ra hyperbol.
Để vẽ nhánh kia của hyperbol, chỉnh và cố định góc giữa ổ 4 và trụ trên 3 là (180 – θ).
Xem mô phỏng:
http://www.youtube.com/watch?v=dsQE7onpTYs
C. Lời bàn
Có những khó khăn khi sử dụng kiểu C-compa này.
- Thao tác vẽ khá khó nhưng chắc không thành vấn đề khi đã quen.
- Phải xác định các thông số điều chỉnh compa: α, θ và độ dài SE, FE khi các đường conic thường được cho dưới dạng phương trình toán học. Việc này là phức tạp. Sáng chế nêu trên có lập bảng tính cho vẽ đường tròn, parabol, hyperbol. Không có bảng tính cho elip. Compa của sáng chế này cũng không cho phép điều chỉnh độ dài SE, FE.
- Một khi đã có và điều chỉnh được các thông số nêu trên thì việc định vị đường conic đúng vị trí yêu cầu cũng là một vấn đề vì không thể định vị bằng mũi nhọn như khi vẽ đường tròn bằng compa truyền thống.
Kỹ thuật điều khiển số đã lấn sân C-compa, ví dụ máy cắt, máy vẽ CNC. Tuy nhiên nếu có kiểu tiện dụng thì C-compa vẫn được ưa chuộng vì đơn giản và linh hoạt.
Last edited by a moderator: