Cuốn Cơ sở (hình học) của Euclide (thế kỷ 3 trước CN) có hai định đề để giải các bài toán hình học phẳng:
Qua hai điểm bất kì, luôn vẽ được một đường thẳng.
Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn vẽ được một đường tròn.
Về mặt cơ khí:
Để vẽ được đường tròn cần có:
Một lỗ ở trên mặt phẳng vẽ.
Một thanh, một đầu có chốt tròn để cắm vào lỗ nói trên, một đầu có bút vẽ.
Cắm chốt vào lỗ, quay thanh, bút sẽ vạch đường tròn. Compa, suy cho cùng, cũng chứa hai điều trên.
Để vẽ được đường thẳng cần có:
Một thước có cạnh thẳng để nối hai điểm cho trước.
Có suy luận:
Để vẽ đường tròn cần phải có đường tròn (thể hiện qua chốt tròn và lỗ tròn). Vậy làm sao để tạo được đường tròn của chốt và lỗ đó?
Để vẽ được đường thẳng cần phải có đường thẳng (thể hiện qua cạnh thẳng của thước). Vậy làm sao để tạo được đường thẳng của thước đó?
Câu chuyện thoảng mùi triết học, gần như kiểu: gà đẻ ra trứng, trứng nở ra gà, cái nào có trước?
Đành công nhận là tồn tại đường tròn và đường thẳng đầu tiên.
Lại có ý:
Bớt công nhận một cái được không? Ví dụ chỉ công nhận đường tròn rồi dùng đường tròn mà tạo đường thẳng?
Đây là bài toán mà các nhà toán học những năm 1700 – 1800 quan tâm. Từ đó ra đời cơ cấu chỉ có khớp quay (đường tròn) mà vẽ ra đường thẳng tuyệt đối. Chúng được lần lượt kể ra dưới đây.
Các cơ cấu này không chỉ giải quyết chuyện lý thuyết trên mà còn có ý nghĩa cơ khí. Khâu chuyển động thẳng sẽ không cần có sống trượt, hoặc nếu có thì áp lực lên sống trượt gần như bằng không, ít ma sát, ít mòn.
Ở đây không bàn đến:
- Cơ cấu vẽ đường thẳng tuyệt đối có dùng các khớp khác (tất nhiên trừ khớp tịnh tiến).
- Cơ cấu gồm toàn khớp quay nhưng chỉ vẽ gần đúng đường thẳng.
Cơ cấu gồm toàn khớp quay vẽ đường thẳng tuyệt đối thường dựa trên phép nghịch đảo hình học : Cho 3 điểm P, A, B thẳng hàng, PA.PB = k^2, k là hằng số, P cố định. Nếu một trong hai điểm A, B chạy theo đường tròn thì điểm kia chạy theo đường thẳng. Đó là hai đường nghịch đảo nhau.
Hình 1a và 1b: Cơ cấu Peaucellier, còn gọi là cơ cấu Lipkin: các thanh cùng màu có chiều dài bằng nhau. Khoảng cách giữa hai khớp quay cố định bằng chiều dài tay quay. Một đỉnh hình thoi vạch đường thẳng tuyệt đối. Đường tròn màu xanh và đường thẳng màu đỏ là hai đường nghịch đảo.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/6fgrTZnO-ZM
http://youtu.be/LhC9RVI2ln8
Hình 1c: Một biến thể của cơ cấu Peaucellier.
Các thanh cùng màu có chiều dài bằng nhau. Khoảng cách giữa hai khớp quay cố định bằng chiều dài tay quay. Một đỉnh hình tứ giác vạch đường thẳng tuyệt đối.
Hình tứ giác này giống hình con diều giấy hay hình mũi giáo nên có tên cơ cấu cái diều (kite) hay cơ cấu mũi giáo (spearhead). Cũng có tên cơ cấu hình thoi lệch. Trong quá trình chuyển động có lúc chúng còn giống hình đầu mũi tên có ngạnh.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/Izacj8CRsNc
Hình 1d: Một biến thể của cơ cấu Peaucellier.
Chiều dài thanh màu xanh: a
Chiều dài thanh màu xanh 3 khớp: 0,75a + 0,25a
Chiều dài thanh màu vàng: 0,5a
Chiều dài thanh màu cam: 0,25a
Khoảng cách giữa hai khớp quay cố định: 0,75a
Một đỉnh hình cái diều lớn vạch đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/kiIYlEd7Gj4
Hình 2a: Đĩa xám gắn với thanh màu vàng trên cùng của cơ cấu hình 1d. Mọi điểm nằm trên đường tròn đường kính bằng a thuộc đĩa sẽ chạy theo đường thẳng là đường kính 2a của đường tròn lớn cố định màu xanh. Đường tròn nhỏ lăn không trượt trong đường tròn lớn. Chúng có tên là các đường tròn Cacdan.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/wuKQcDh4MFw
Về đường tròn Cacdan xem:
http://www.meslab.org/mes/threads/18255-Duong-tron-Cardan-trong-co-khi.html
Hình 2b: Một biến thể của cơ cấu Peaucellier.
Chiều dài thanh màu xanh: a
Chiều dài các thanh màu xanh lá 3 khớp: 0,5a + 0,5a
Chiều dài thanh màu hồng 3 khớp: 0,25a + 0,75a
Chiều dài các thanh màu vàng: 0,5a
Chiều dài các thanh màu cam: 0,25a
Khoảng cách giữa các khớp quay cố định: 0,75a + 0,25a
Thanh màu hồng chạy theo đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/EQ0DLpqnN-g
Hình 2c: Một biến thể của cơ cấu Peaucellier.
Chiều dài thanh màu xanh: a
Chiều dài thanh màu hồng 3 khớp: 0,25a + 0,75a
Chiều dài các thanh màu vàng: 0,5a
Chiều dài các thanh màu cam: 0,25a
Khoảng cách giữa các khớp quay cố định: 0,75a + 0,25a
Thanh màu hồng chạy theo đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/oKmy7CMYASA
Hình 2d: Một biến thể của cơ cấu Peaucellier.
Chiều dài thanh màu xanh lá: a
Chiều dài các thanh màu vàng: 0,5a
Chiều dài thanh màu cam: 0,25a
Thanh màu hồng chạy theo đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/ShmKYOnMuw4
Hình 3a: Một biến thể của cơ cấu hình 2d để tăng chiều dài các thanh rộng bản.
Chiều dài thanh màu xanh lá: a
Chiều dài các thanh màu vàng: 0,5a
Chiều dài thanh màu cam: 0,25a
Thanh màu hồng chạy theo đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/oBgOfMio_LA
Hình 3b: Cách nối hai (hoặc nhiều) cơ cấu hình 3a bằng bộ truyền bánh răng (màu tím) nhờ vậy thanh cuối màu hồng di chuyển được rất dài. Có thể áp dụng cho các cơ cấu co duổi như cổng xếp.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/AD_0MACi44M
Hình 3c: Cơ cấu 4 thanh chữ V tam giác vuông cân.
Khoảng cách trục giữa các khớp quay của bàn màu xanh lá, khoảng cách trục giữa các khớp quay cố định và chiều dài các thanh màu hồng bằng nhau. Bàn màu xanh lá chạy theo đường thẳng tuyệt đối. Chú ý có hình chữ nhật đỏ và hai hình bình hành biến hình trong quá trình chuyển động. Cơ cấu này được suy ra từ cơ cấu phản bình hành hình 3d.
Xem mô phỏng:
http://youtu.[MEDIA=youtube]e-FPMdta[/MEDIA]-Y_A
Hình 3d: Biến thể của tổ hợp 2 cơ cấu phản bình hành.
Cơ cấu phản bình hành gốc gồm hai thanh màu cam và hai thanh màu tím. Mỗi thanh được biến hình bằng cánh nối thêm thanh chữ V và trở thành tam giác vuông cân. Các đỉnh góc vuông tạo thanh hình chữ nhật biến hình (màu đỏ) trong quá trình chuyển động.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/S8sIOrvrYJM
Phần viết trên lấy ý chủ yếu từ bài giảng:
“How to draw a straight line”, London, 1877, A. B. Kempe.
http://www.gutenberg.org/ebooks/25155
Trên đây là các cơ cấu phẳng. Chúng khá phức tạp vì nhiều khâu, ít nhất là 7. Cơ cấu 4 khâu bản lề quen thuộc chỉ vẽ được gần đúng đường thẳng. Xem phần “Cơ cấu vẽ đoạn thẳng” bài:
http://www.meslab.org/mes/threads/30905-Mot-so-co-cau-bon-khau-ban-le-phang-qua-mo-phong.html
Có cơ cấu không gian 6 khâu, gồm toàn khớp quay, vẽ đường thẳng tuyệt đối, sáng chế năm 1853, trước cả cơ cấu Peaucellier (1864). Một nét đẹp cơ khí hầu như bị lãng quên. Đó là cơ cấu Sarrus.
Hình 4a: Cơ cấu Sarrus gốc: có thể xem nó gồm hai cơ cấu tay quay thanh truyền phẳng, nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tấm màu cam lên xuống theo đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/pQBJcgJe6t0
Hình 4b: Như cơ cấu hình 5a nhưng cho thấy các cơ cấu tay quay thanh truyền phẳng không nhất thiết phải nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Chỉ cần trong hai mặt phẳng không song song là được. Cơ cấu tay quay thanh truyền thứ 3 để tạo cân bằng về lực, không có tác dụng động học.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/CPYbD1GUS1A
Có nhiều mô hình về cơ cấu Sarrus trên Internet rất hay:
http://www.youtube.com/watch?v=kUzqQ7WNOrM
http://www.youtube.com/watch?v=ElwYLPVikls
http://www.youtube.com/watch?v=yRjI_1kP6NA
http://www.youtube.com/watch?v=RpCHcZrsyNU
Tuy nhiên không tìm thấy ví dụ áp dụng cơ cấu Sarrus cho mục đích công nghệ.
Xin đề xuất hai ứng dụng sau:
Hình 4c: Sàn nâng. Nối hai (hoặc hơn) cơ cấu Sarrus bằng bộ truyền bánh răng (màu vàng). Nhờ vậy mặt sàn trên cùng di chuyển được rất dài với chỉ một di chuyển nhỏ của pit tông màu cam. Các thanh được bố trí dọc mặt bên sàn nên không choáng chỗ nhiều như cơ cấu Sarrus gốc. Khớp quay đặt gần hai góc đối diện của sàn nên lực đỡ khá cân.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/FlNFaiCQIAk
Hình 4d: Cơ cấu hình 4c kết hợp với ống dẫn mềm xoắn vít, dùng để cấp chất lỏng hoặc khí, co duỗi được.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/B3khF2lBUyU
Qua hai điểm bất kì, luôn vẽ được một đường thẳng.
Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn vẽ được một đường tròn.
Về mặt cơ khí:
Để vẽ được đường tròn cần có:
Một lỗ ở trên mặt phẳng vẽ.
Một thanh, một đầu có chốt tròn để cắm vào lỗ nói trên, một đầu có bút vẽ.
Cắm chốt vào lỗ, quay thanh, bút sẽ vạch đường tròn. Compa, suy cho cùng, cũng chứa hai điều trên.
Để vẽ được đường thẳng cần có:
Một thước có cạnh thẳng để nối hai điểm cho trước.
Có suy luận:
Để vẽ đường tròn cần phải có đường tròn (thể hiện qua chốt tròn và lỗ tròn). Vậy làm sao để tạo được đường tròn của chốt và lỗ đó?
Để vẽ được đường thẳng cần phải có đường thẳng (thể hiện qua cạnh thẳng của thước). Vậy làm sao để tạo được đường thẳng của thước đó?
Câu chuyện thoảng mùi triết học, gần như kiểu: gà đẻ ra trứng, trứng nở ra gà, cái nào có trước?
Đành công nhận là tồn tại đường tròn và đường thẳng đầu tiên.
Lại có ý:
Bớt công nhận một cái được không? Ví dụ chỉ công nhận đường tròn rồi dùng đường tròn mà tạo đường thẳng?
Đây là bài toán mà các nhà toán học những năm 1700 – 1800 quan tâm. Từ đó ra đời cơ cấu chỉ có khớp quay (đường tròn) mà vẽ ra đường thẳng tuyệt đối. Chúng được lần lượt kể ra dưới đây.
Các cơ cấu này không chỉ giải quyết chuyện lý thuyết trên mà còn có ý nghĩa cơ khí. Khâu chuyển động thẳng sẽ không cần có sống trượt, hoặc nếu có thì áp lực lên sống trượt gần như bằng không, ít ma sát, ít mòn.
Ở đây không bàn đến:
- Cơ cấu vẽ đường thẳng tuyệt đối có dùng các khớp khác (tất nhiên trừ khớp tịnh tiến).
- Cơ cấu gồm toàn khớp quay nhưng chỉ vẽ gần đúng đường thẳng.
Cơ cấu gồm toàn khớp quay vẽ đường thẳng tuyệt đối thường dựa trên phép nghịch đảo hình học : Cho 3 điểm P, A, B thẳng hàng, PA.PB = k^2, k là hằng số, P cố định. Nếu một trong hai điểm A, B chạy theo đường tròn thì điểm kia chạy theo đường thẳng. Đó là hai đường nghịch đảo nhau.
Hình 1a và 1b: Cơ cấu Peaucellier, còn gọi là cơ cấu Lipkin: các thanh cùng màu có chiều dài bằng nhau. Khoảng cách giữa hai khớp quay cố định bằng chiều dài tay quay. Một đỉnh hình thoi vạch đường thẳng tuyệt đối. Đường tròn màu xanh và đường thẳng màu đỏ là hai đường nghịch đảo.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/6fgrTZnO-ZM
http://youtu.be/LhC9RVI2ln8
Hình 1c: Một biến thể của cơ cấu Peaucellier.
Các thanh cùng màu có chiều dài bằng nhau. Khoảng cách giữa hai khớp quay cố định bằng chiều dài tay quay. Một đỉnh hình tứ giác vạch đường thẳng tuyệt đối.
Hình tứ giác này giống hình con diều giấy hay hình mũi giáo nên có tên cơ cấu cái diều (kite) hay cơ cấu mũi giáo (spearhead). Cũng có tên cơ cấu hình thoi lệch. Trong quá trình chuyển động có lúc chúng còn giống hình đầu mũi tên có ngạnh.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/Izacj8CRsNc
Hình 1d: Một biến thể của cơ cấu Peaucellier.
Chiều dài thanh màu xanh: a
Chiều dài thanh màu xanh 3 khớp: 0,75a + 0,25a
Chiều dài thanh màu vàng: 0,5a
Chiều dài thanh màu cam: 0,25a
Khoảng cách giữa hai khớp quay cố định: 0,75a
Một đỉnh hình cái diều lớn vạch đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/kiIYlEd7Gj4
Hình 2a: Đĩa xám gắn với thanh màu vàng trên cùng của cơ cấu hình 1d. Mọi điểm nằm trên đường tròn đường kính bằng a thuộc đĩa sẽ chạy theo đường thẳng là đường kính 2a của đường tròn lớn cố định màu xanh. Đường tròn nhỏ lăn không trượt trong đường tròn lớn. Chúng có tên là các đường tròn Cacdan.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/wuKQcDh4MFw
Về đường tròn Cacdan xem:
http://www.meslab.org/mes/threads/18255-Duong-tron-Cardan-trong-co-khi.html
Hình 2b: Một biến thể của cơ cấu Peaucellier.
Chiều dài thanh màu xanh: a
Chiều dài các thanh màu xanh lá 3 khớp: 0,5a + 0,5a
Chiều dài thanh màu hồng 3 khớp: 0,25a + 0,75a
Chiều dài các thanh màu vàng: 0,5a
Chiều dài các thanh màu cam: 0,25a
Khoảng cách giữa các khớp quay cố định: 0,75a + 0,25a
Thanh màu hồng chạy theo đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/EQ0DLpqnN-g
Hình 2c: Một biến thể của cơ cấu Peaucellier.
Chiều dài thanh màu xanh: a
Chiều dài thanh màu hồng 3 khớp: 0,25a + 0,75a
Chiều dài các thanh màu vàng: 0,5a
Chiều dài các thanh màu cam: 0,25a
Khoảng cách giữa các khớp quay cố định: 0,75a + 0,25a
Thanh màu hồng chạy theo đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/oKmy7CMYASA
Hình 2d: Một biến thể của cơ cấu Peaucellier.
Chiều dài thanh màu xanh lá: a
Chiều dài các thanh màu vàng: 0,5a
Chiều dài thanh màu cam: 0,25a
Thanh màu hồng chạy theo đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/ShmKYOnMuw4
Hình 3a: Một biến thể của cơ cấu hình 2d để tăng chiều dài các thanh rộng bản.
Chiều dài thanh màu xanh lá: a
Chiều dài các thanh màu vàng: 0,5a
Chiều dài thanh màu cam: 0,25a
Thanh màu hồng chạy theo đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/oBgOfMio_LA
Hình 3b: Cách nối hai (hoặc nhiều) cơ cấu hình 3a bằng bộ truyền bánh răng (màu tím) nhờ vậy thanh cuối màu hồng di chuyển được rất dài. Có thể áp dụng cho các cơ cấu co duổi như cổng xếp.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/AD_0MACi44M
Hình 3c: Cơ cấu 4 thanh chữ V tam giác vuông cân.
Khoảng cách trục giữa các khớp quay của bàn màu xanh lá, khoảng cách trục giữa các khớp quay cố định và chiều dài các thanh màu hồng bằng nhau. Bàn màu xanh lá chạy theo đường thẳng tuyệt đối. Chú ý có hình chữ nhật đỏ và hai hình bình hành biến hình trong quá trình chuyển động. Cơ cấu này được suy ra từ cơ cấu phản bình hành hình 3d.
Xem mô phỏng:
http://youtu.[MEDIA=youtube]e-FPMdta[/MEDIA]-Y_A
Hình 3d: Biến thể của tổ hợp 2 cơ cấu phản bình hành.
Cơ cấu phản bình hành gốc gồm hai thanh màu cam và hai thanh màu tím. Mỗi thanh được biến hình bằng cánh nối thêm thanh chữ V và trở thành tam giác vuông cân. Các đỉnh góc vuông tạo thanh hình chữ nhật biến hình (màu đỏ) trong quá trình chuyển động.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/S8sIOrvrYJM
Phần viết trên lấy ý chủ yếu từ bài giảng:
“How to draw a straight line”, London, 1877, A. B. Kempe.
http://www.gutenberg.org/ebooks/25155
Trên đây là các cơ cấu phẳng. Chúng khá phức tạp vì nhiều khâu, ít nhất là 7. Cơ cấu 4 khâu bản lề quen thuộc chỉ vẽ được gần đúng đường thẳng. Xem phần “Cơ cấu vẽ đoạn thẳng” bài:
http://www.meslab.org/mes/threads/30905-Mot-so-co-cau-bon-khau-ban-le-phang-qua-mo-phong.html
Có cơ cấu không gian 6 khâu, gồm toàn khớp quay, vẽ đường thẳng tuyệt đối, sáng chế năm 1853, trước cả cơ cấu Peaucellier (1864). Một nét đẹp cơ khí hầu như bị lãng quên. Đó là cơ cấu Sarrus.
Hình 4a: Cơ cấu Sarrus gốc: có thể xem nó gồm hai cơ cấu tay quay thanh truyền phẳng, nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tấm màu cam lên xuống theo đường thẳng tuyệt đối.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/pQBJcgJe6t0
Hình 4b: Như cơ cấu hình 5a nhưng cho thấy các cơ cấu tay quay thanh truyền phẳng không nhất thiết phải nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Chỉ cần trong hai mặt phẳng không song song là được. Cơ cấu tay quay thanh truyền thứ 3 để tạo cân bằng về lực, không có tác dụng động học.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/CPYbD1GUS1A
Có nhiều mô hình về cơ cấu Sarrus trên Internet rất hay:
http://www.youtube.com/watch?v=kUzqQ7WNOrM
http://www.youtube.com/watch?v=ElwYLPVikls
http://www.youtube.com/watch?v=yRjI_1kP6NA
http://www.youtube.com/watch?v=RpCHcZrsyNU
Tuy nhiên không tìm thấy ví dụ áp dụng cơ cấu Sarrus cho mục đích công nghệ.
Xin đề xuất hai ứng dụng sau:
Hình 4c: Sàn nâng. Nối hai (hoặc hơn) cơ cấu Sarrus bằng bộ truyền bánh răng (màu vàng). Nhờ vậy mặt sàn trên cùng di chuyển được rất dài với chỉ một di chuyển nhỏ của pit tông màu cam. Các thanh được bố trí dọc mặt bên sàn nên không choáng chỗ nhiều như cơ cấu Sarrus gốc. Khớp quay đặt gần hai góc đối diện của sàn nên lực đỡ khá cân.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/FlNFaiCQIAk
Hình 4d: Cơ cấu hình 4c kết hợp với ống dẫn mềm xoắn vít, dùng để cấp chất lỏng hoặc khí, co duỗi được.
Xem mô phỏng:
http://youtu.be/B3khF2lBUyU
